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对于一个子串而言，如果它是回文串，并且长度大于 2，那么将它首尾的两个字母去除之后，它仍然是个回文串。例如对于字符串 “ababa”，如果我们已经知道 “bab” 是回文串，那么 “ababa” 一定是回文串，这是因为它的首尾两个字母都是 “a”。

根据这样的思路，我们就可以用动态规划的方法解决本题。我们用 P(i,j) 表示字符串 s 的第 i 到 j 个字母组成的串（下文表示成 s[i:j]）是否为回文串：
P(i,j)={true,false,​如果子串 Si​…Sj​ 是回文串其它情况​

这里的「其它情况」包含两种可能性：

    s[i,j] 本身不是一个回文串；

    i>j，此时 s[i,j] 本身不合法。

那么我们就可以写出动态规划的状态转移方程：
P(i,j)=P(i+1,j−1)∧(Si​==Sj​)

也就是说，只有 s[i+1:j−1] 是回文串，并且 s 的第 i 和 j 个字母相同时，s[i:j] 才会是回文串。

上文的所有讨论是建立在子串长度大于 2 的前提之上的，我们还需要考虑动态规划中的边界条件，即子串的长度为 1 或 2。对于长度为 1 的子串，它显然是个回文串；对于长度为 2 的子串，只要它的两个字母相同，它就是一个回文串。因此我们就可以写出动态规划的边界条件：
{P(i,i)=trueP(i,i+1)=(Si​==Si+1​)​

根据这个思路，我们就可以完成动态规划了，最终的答案即为所有 P(i,j)=true 中 j−i+1（即子串长度）的最大值。注意：在状态转移方程中，我们是从长度较短的字符串向长度较长的字符串进行转移的，因此一定要注意动态规划的循环顺序。
*/
class Solution {
public:
    string longestPalindrome(string s) {
        vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size())); 
        int size = s.size();       
        string result;
        // 特殊情况：长度为1,都是回文
        for (int i = 0; i < size; ++i) {
            dp[i][i] = true;
            result = s.substr(i, 1);
        }
        // 特殊情况：长度为2,字符相等，是回文
        for (int i = 0; i < size - 1; ++i) {
            if (s[i] == s[i + 1]) {
                dp[i][i + 1] = true;
                result = s.substr(i, 2);
            }
        }
        for (int len = 3; len <= size; ++len) {
            for (int i = 0; i < size - len + 1; ++i) {
                int j = i + len - 1;
                // 一般情况：在字串是回文的情况下，左右两端相等
                if (s[i] == s[j] && dp[i + 1][j - 1]) {
                    dp[i][j] = true;
                    result = s.substr(i, len);
                }
            }
        }
        return result;
    }
};
